(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0, IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
Rewrite Strategy: FULL
(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(2) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(4) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__U21(tt, IL, M, N) → a__U22(tt, IL, M, N)
a__U22(tt, IL, M, N) → a__U23(tt, IL, M, N)
a__U23(tt, IL, M, N) → cons(mark(N), take(M, IL))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
a__take(0', IL) → nil
a__take(s(M), cons(N, IL)) → a__U21(tt, IL, M, N)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(U21(X1, X2, X3, X4)) → a__U21(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U22(X1, X2, X3, X4)) → a__U22(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(U23(X1, X2, X3, X4)) → a__U23(mark(X1), X2, X3, X4)
mark(take(X1, X2)) → a__take(mark(X1), mark(X2))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)
a__U21(X1, X2, X3, X4) → U21(X1, X2, X3, X4)
a__U22(X1, X2, X3, X4) → U22(X1, X2, X3, X4)
a__U23(X1, X2, X3, X4) → U23(X1, X2, X3, X4)
a__take(X1, X2) → take(X1, X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11,
a__U12,
a__length,
mark,
a__U21,
a__U22,
a__U23They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length, mark, a__U21, a__U22, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11, mark, a__U21, a__U22, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, mark, a__U21, a__U22, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(12) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__U21, a__U22, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
mark(
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(
n15521_0)) →
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(
n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n15521
0)
Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0)) →RΩ(1)
0'
Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(n15521_0, 1))) →RΩ(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)), 0') →IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(c15522_0), 0')
We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(14) Complex Obligation (BEST)
(15) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U21, a__U11, a__U12, a__length, a__U22, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U21.
(17) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U22, a__U11, a__U12, a__length, a__U23
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U22.
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U23, a__U11, a__U12, a__length
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U23.
(21) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.
(23) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.
(25) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U22
a__U11 = a__U23
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U22
a__U12 = a__U23
a__length = mark
a__length = a__U21
a__length = a__U22
a__length = a__U23
mark = a__U21
mark = a__U22
mark = a__U23
a__U21 = a__U22
a__U21 = a__U23
a__U22 = a__U23
(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
(29) BOUNDS(n^1, INF)
(30) Obligation:
TRS:
Rules:
a__zeros →
cons(
0',
zeros)
a__U11(
tt,
L) →
a__U12(
tt,
L)
a__U12(
tt,
L) →
s(
a__length(
mark(
L)))
a__U21(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U22(
tt,
IL,
M,
N)
a__U22(
tt,
IL,
M,
N) →
a__U23(
tt,
IL,
M,
N)
a__U23(
tt,
IL,
M,
N) →
cons(
mark(
N),
take(
M,
IL))
a__length(
nil) →
0'a__length(
cons(
N,
L)) →
a__U11(
tt,
L)
a__take(
0',
IL) →
nila__take(
s(
M),
cons(
N,
IL)) →
a__U21(
tt,
IL,
M,
N)
mark(
zeros) →
a__zerosmark(
U11(
X1,
X2)) →
a__U11(
mark(
X1),
X2)
mark(
U12(
X1,
X2)) →
a__U12(
mark(
X1),
X2)
mark(
length(
X)) →
a__length(
mark(
X))
mark(
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U21(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U22(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)) →
a__U23(
mark(
X1),
X2,
X3,
X4)
mark(
take(
X1,
X2)) →
a__take(
mark(
X1),
mark(
X2))
mark(
cons(
X1,
X2)) →
cons(
mark(
X1),
X2)
mark(
0') →
0'mark(
tt) →
ttmark(
s(
X)) →
s(
mark(
X))
mark(
nil) →
nila__zeros →
zerosa__U11(
X1,
X2) →
U11(
X1,
X2)
a__U12(
X1,
X2) →
U12(
X1,
X2)
a__length(
X) →
length(
X)
a__U21(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U21(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U22(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U22(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__U23(
X1,
X2,
X3,
X4) →
U23(
X1,
X2,
X3,
X4)
a__take(
X1,
X2) →
take(
X1,
X2)
Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
s :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
a__take :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
length :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U21 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U22 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
U23 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23 → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
hole_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U231_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U23
Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(x), 0')
No more defined symbols left to analyse.
(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)
The lowerbound Ω(n1) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:take:nil:U11:U12:length:U21:U22:U232_0(n15521_0), rt ∈ Ω(1 + n155210)
(32) BOUNDS(n^1, INF)